Hallo,
wie kann ich zeigen, dass zwischen \(m\) und \(m+1\), wobei \(m \in \mathbb{N} \), keine weitere natürliche Zahl gibt? Ich kenne zwar die Peano-Axiome, weiß, dass es in \( \mathbb{N} \) das kleinste Element gibt, komme aber nicht weiter.
Ich kann zwar annehmen, dass es ein \( n \in \mathbb{N} \) mit \( m < n < m+1 \) gibt, gedanklich so lange von \(m \) und \(n\) eine \(1\) subtrahieren, bis ich das kleinste Element erreiche und dann einfach feststellen, dass es nicht gehen kann, weil es sonst zwei kleinste Elemente geben würde. Leider ist das nur "gesprochen" und Behauptungen wie "bis ich das kleinste Element erreiche" sind doch keine Beweise. Wie sollte der Beweis aussehen?
Jetzt ist mir gerade folgendes aufgefallen:
\( m-m = 0 < n-m < m +1 -m \) also
\( 0 < n-m < 1 \)
Jedes \( n \in \mathbb{N} \) ungleich \(0\) ist ein Nachfolger einer natürlichen Zahl (sonst würde das \(n\) das kleinste Element sein) also auch \( n- m\) (angenommen \( n-m \) wäre eine nat. Zahl). D.h. \( n-m \) wäre Nachfolger von \(n -m -1 \) und dies ist wiederum kleiner \(0\) - Wiederspruch.
Die letzte Frage die ich mir noch Stelle ist, ob wenn ich von einer größeren nat. Zahl eine kleinere Abziehe, ob da eine natürliche Zahl raus kommt (es geht um die Feststellung "angenommen \( n-m \) wäre eine nat. Zahl")?
\(n\) ist größer als \(m\) also entsteht \(n\) aus \(m\) durch sukzessive Addition von \(1\). Wir können also \(n\) auffassen als \(m + x\), wobei \(x\) die restlichen Additionen von \(1\) sind. Es ist also \(n -m = m +x - m = x\) und \(x\) ist nichts anderes als eine eine Summe von Einsen also eine natürliche Zahl.
Macht das alles Sinn?