Basis bestimmen bei komplexen Zahlen

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir helfen. 
Es geht um folgende Aufgabe Ich habe jetzt S in Abhängigkeit von z geschrieben ( sprich eine Matrix mit den Elementen z1 , z2 , z3, z4) und dann nach der Formel AS = SA' aufgelöst. Dabei komme ich darauf, dass z1 + z3*i = 0 ist. Aus einer anderen Gleichung folgt dann z1*i=z3. Dann kann man interpretieren, dass z1 reell sein muss und z3 den gleichen Wert haben muss und imaginär ist. Bzw. umgekehrt x1 ist imaginär und x3 ist reell mit dem selben Wert. Allerdings komme ich hier einfach nicht weiter. Außerdem fehlt mir leider jeglicher Ansatz zum berechnen der Basis. Da S ja eine 2x2 Matrix ist, müsste die ja 4 dimensional sein, oder besteht die Basis selber aus Matrizen?
Ich hoffe einer von euch kann mir dabei helfen :)
Vielen Dank!