Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter (es geht nur um die erste Aufgabe, also a und b):
Sei K ein endlicher Körper, d.h. ein Körper mit endlicher zugrunde liegender Menge K.
(a) Sei V ein Vektorraum über K. Zeigen Sie: V ist genau dann endlich dimensional, wenn V endlich ist. In diesem Fall gilt |V| = |K|dimKV.
Hinweis: Konstruieren Sie für endlich dimensionales V mit Hilfe einer Basis eine bijektive Abbildung von V nach KdimKV.
(b) Folgern Sie aus Aufgabenteil (a) sowie Aufgabe 14, dass es d ∈ N gibt mit |K|= Char(K)d.
Bemerkung: Da (K,0K,+K ) eine endliche Gruppe ist, gibt es ein n ∈ N mit nK = 0K. Die Charakteristik Char(K) von K ist damit im Sinne von Aufgabe 14 (siehe unten) definiert.
Hab leider keinen Ansatz und erst recht keine Lösung. :/ Bin für jegliche Hilfe dankbar.
Aufgabe 14(muss nicht bearbeitet werden, zur Bearbeitung von der oberen Aufgabe nötig):
Sei K ein Körper.
(a) Sei L ein Unterkörper von K. Wir definieren
· : L × K → K, (λ , x) → λ · x := λ ·K x
Zeigen Sie, dass (K,0K, +K,· ) Vektorraum über L ist.
Wir nehmen im Folgenden an, dass es ein n ∈ N gibt mit nK = 0K. Dann gibt es ein minimales solches n, welches wir die Charakteristik Char(K) von K nennen.
(b) Zeigen Sie, dassChar(K) eine Primzahl ist und dass für alle m ∈ Z gilt
mK= 0K⇐⇒ m ∈ Char(K) · Z.
(c) Sei L := {nK | n ∈ Z} ⊂ K. Zeigen Sie, dass |L| = Char(K) und dass L ein Unterkörper von K ist.