Ich komme leider nicht weiter bei folgender Induktion

Ich komme leider bei folgender Induktion nicht weiter. Ich bin mir so unsicher wie eine solche Induktion erfolgt. Vor allem verstehe ich einfach diese Indexverschiebung nicht. Ich habe echt schon viel recherchiert und nachgelesen aber ich verstehe es trotzdem nicht.

Folgendes Beispiel:

ICH HABE FOLGENDES:

Induktionsanfang:

n = 0

Σ (von k=0 bis 0) (⁰₀) = 2⁰= 1       und das STIMMT auf beiden Seiten.

Induktionsbehauptung:

∃n∈ℕ, n≥0 : ∑_kⁿ₌₀  (n über k) = 2ⁿ

Induktionsschritt: n → n+1

zz. ∑ⁿ⁺¹_k=0 (ⁿ⁺¹_k) = 2ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ = 2 * ∑ⁿ_k=0(ⁿ_k) = ∑ⁿ_k=0(ⁿ_k)*2 

und weiter weiß ich leider nicht mehr kann mir wer dabei helfen?