Hallo.
Meine Aufgabe:
Zeigen sie, dass für z∈C \ {1} gilt:
$$ z\in (-\infty ,-1]\cup (1,\infty )\quad \Longleftrightarrow \frac { 1+z }{ 1-z } \in (-\infty ,0] $$
Ich habe hier bereits:
=>: Für z = -1 ist 1+z = 0
und für z >-1 ist 1+z negativ und 1-z positiv
Damit wäre die Hinrichtung gezeigt
<= : Der Bruch ist 0,falls z = -1 und kleiner als 0, falls Nenner und Zähler unterschiedliche Vorzeichen haben.
Nenner ist positiv für z>-1 und negativ für z<-1.
Zähler ist positiv für z<1 und negativ für z>1.
Kombinieren wir beides:
Bruch negativ für: z>-1 und z>1, also z>-1
und für : z<-1 und und z<1, also z<1
Damit wäre die Rückrichtung und auch die Aussage gezeigt.
Der zweite Teil ist nun:
Für welche z gilt:
$$dz\quad log(\frac { 1+z }{ 1-z } )\quad =\frac { 2 }{ 1-{ z }^{ 2 } } $$
Habe nun erst einmal die Ableitung gebildet per Produktregel und erhalte die zu zeigende Aussage.
Kann ich jetzt sagen, dass der Logarithmus für z= x+iy mit x>0 holomorph ist und somit diese Aussage stimmt für alle z bis auf die z aus dem 1. Aufgabenteil?