Hi,
Ich möchte zeigen, dass die Repunit Rn genau dann durch Rm teilbar ist, wenn m|n.
$$ {R}_{n}=\frac{{10}^{n}-1}{9} $$
mit n∈ℕ.
Nun habe ich versucht es zu beweisen, bin mir aber unsicher ob der Beweis richtig und in sich logisch und schlüssig ist:
$$\frac { { 10 }^{ n }-1 }{ 9 } \equiv 0\quad mod\quad \frac { { 10 }^{ m }-1 }{ 9 } \quad \\ Aus\quad { R }_{ m }|{ R }_{ n }\quad folgt\quad 9{ R }_{ m }|9{ R }_{ n }\\ \Rightarrow { 10 }^{ n }-1\equiv 0\quad mod\quad { 10 }^{ m }-1\\ \Rightarrow { 10 }^{ n }\equiv 1\quad mod\quad { 10 }^{ m }-1\\ Da\quad m|n\\ { ({ 10 }^{ m }) }^{ k }\equiv 1\quad mod\quad { 10 }^{ m }-1\quad mit\quad k=\frac { n }{ m } \\ Aus\quad x*y\quad mod\quad p\quad =\quad [x\quad mod\quad p\quad *\quad y\quad mod\quad p]\quad mod\quad p\\ und\quad { 10 }^{ m }-1\equiv 0\quad mod\quad { 10 }^{ m }-1\quad und\quad damit\quad auch\quad { 10 }^{ m }\equiv 1\quad mod\quad { 10 }^{ m }-1\quad folgt:\\ 1^{ k }\equiv 1\quad mod\quad { 10 }^{ m }-1$$
Wäre nett wenn sich das jemand mit mehr Erfahrung in diesem Bereich anschauen könnte ^^
Gruß
EmNero