Für n ≥ 3 und α ∈ Rn \ {0} berechne man alle partiellen Ableitungen 1. und 2.
Ordnung der Funktion
f: $${ R }^{ n }\diagdown \{ 0\} \rightarrow R,\quad \quad x\mapsto |x|^{ \alpha }$$
sowie ∆f(x):= div gradf(x)=
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial { x }_{ i }^{ 2 } } }$$ und bestimme denjenigen Wert α (in Abhängigkeit von n), für den f der Laplace-Gleichung
∆f = 0
genügt. (Der Operator ∆ heißt Laplace-Operator, die Lösungen der Laplace-Gleichung werden als harmonische Funktionen bezeichnet.)