Produkt aus Nullfolge und beschränkte Folge

Abend,

ich versuche schon seit einiger Zeit den Beweis für die Konvergenz aus dem Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge zu verstehen.

Hier der Beweis

Ιb_n Ι ≤ M ,  M>0

a_n -> 0 (n -> ∞)

d.h ∀ε > 0: ∃N(ε)∈ℕ: n≥ N(ε): Ιa_n-0Ι ≤ ε

Ιa_n-0Ι ≤ (ε / M)

<=> Ιa_n Ι ≤ (ε / M)

Beh. : ∀ε > 0: ∃N(ε)∈ℕ: n≥ N(ε): Ιa_nb_n-0Ι ≤ ε

Beweis: Ιa_nb_nΙ = Ιa_n Ι · Ιb_nΙ ≤ Ιa_n Ι · M ≤ (ε / M) · M ≤ ε  ∀n≥N(ε)

Nun zu meine Fragen. ( Die betroffenen Stellen sind rot markiert)

1. Warum heißt es M>0 und nicht M ∈ℝ bzw. wann schreibt man  M>0 und wann M ∈ℝ ?

2. Wie komme ich auf (ε / M)? Das verstehe ich einfach nicht. Woher soll ich wissen, dass es (ε / M) heißen soll und man dadurch auf das ε am Schluss kommt. Muss man das einfach schon gleich am Anfang erkennen.? 

3. Muss man bei der Beh. N(ε)oder N₂(ε) schreiben? Ich habe ja schon vorhin bei der Konvergenz von an N(ε) verwendet. Müsste dort N₁(ε) stehen? Oder braucht man das hier nicht unbedingt?

3. Und nun zu meiner letzen Frage: Gibt es irgendeinen Trick beim Abschätzen? Also kann man das sehen, wann man abschätzen muss? Oder "erlernt" man das indem man ganz viele Übungen macht. Ich weiß nämlich nie, wann ich Abschätzen sollte, um dann auch auf das Ergebnis kommen zu können. 

Tut mir leid für die vielen Fragen, aber ich möchte das Thema verstehen. Ich hoffe ihr nehmt Rücksicht :)

Vielen vielen vielen Dank schon einmal für die kommenden Antwort!!

Schönen Abend euch.