Eine Urne enthalte zu Beginn N Kugeln wovon K weiß und die restlichen N − K schwarz sind. Für festes m ∈ Z mit m ≥ −1 wird bei jeder Ziehung eine Kugel entnommen und anschließend m+1 Kugeln gleicher Farbe der Urne zugefügt. Insgesamt betrachten wir n ∈ N Ziehungen als Zufallsexperiment auf dem Grundraum Ω = {W, S}n. Die Zufallsvariable Xn : Ω → {0, . . . , n} gebe die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an.
a) Zeigen Sie, dass für ω = (ω1,...,ωn) ∈ Ω durch
$${ p }_{ w }^{ (n) }=\frac { \prod _{ i=o }^{ { x }_{ n }(w)-1 }{ (K+im)\prod _{ j=0 }^{ n-{ x }_{ n }(w)-1 }{ (N-K+jm) } } }{ \prod _{ l=0 }^{ n-1 }{ (N+lm) } } $$
die Zähldichte der diskreten Verteilung gegeben ist. Dabei ist Prokt von i=0 bis -1als leeres Produkt gleich 1 zu setzen.
Hinweis: Vollständige Induktion über n ∈ N.
b)Bestimmen Sie die Verteilung PXn der Zufallsvariable Xn durch Angabe der Zähldichte.
c)Vereinfachen Sie die Zähldichte der Verteilung PXn in den folgenden Spezialfällen:
m=-1 : Ziehung ohne Zurücklegen
m=0 :Ziehung mit Zurücklegen
m=1 :Pólyas Modell zur Ausbreitung ansteckender Krankheiten